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Dalla scoperta del fuoco al calore prodotto per combustione, alla pila di Volta e le lampadine di Edison. Un viaggio tra passato, presente e ... futuro dell'energia.

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Creato da Roberto Vacca « clicca sul nome per leggere il curriculum dell'autore

Integrali estesi al tempo – processi cumulativi

Il tempo passa e le resistenze passive (cioè gli attriti e le perdite di energia) rallentano il moto di certi oggetti fino a fermarli e a farli depositare. In pianura nei meandri dei fiumi la CORRENTE è lenta;  sabbia e detriti sospesi si accumulano nei tratti convessi. La CORRENTE corrode le sponde concave  e produce altre scorie che a valle si raccolgono in banchi.

Il tesoro dell’avaro si accumula e cresce a ogni doblone aggiunto [secondo un detto arabo è una delle cose che non si hanno, se non muore chi le ha – le altre due sono la donna fedele e le armi dell’eroe].

Bibliofili e collezionisti continuano per anni a raccogliere monete, francobolli, libri e oggetti – comuni o artistici. Alcuni di loro li ammucchiano in pile disordinate sui pavimenti. Così le loro case possono apparire affascinanti ai visitatori. Però sono poco praticabili e rendono arduo ai proprietari il godimento dei loro tesori. Spesso non ricordano neanche più dove abbiano nascosto i pezzi migliori. Questi processi di accumulo sono lenti. Tendiamo a subirli per distrazione. Ne descriviamo con parole compiaciute [“sono molto originale!”] le ineluttabili regolarità, ma non obbediscono a leggi chiare. 

Sono chiare, ma non estremamente semplici, le leggi che governano l’accrescimento  nel tempo  o il declino delle popolazioni biologiche: di esseri umani, animali e piante. Ho lavorato a lungo per mostrare come siano del tutto simili le leggi che descrivono l’aumento di manufatti e macchine – fra cui le automobili (ma in certi paesi le dimensioni dei parchi auto cominciano a decrescere), i telefoni cellulari, i computer, le centrali elettriche, gli aeroplani, i droni.

Invece, le leggi che governano certi fenomeni fisici  cumulativi (come lo spazio percorso da un corpo in moto, che cumula gli spazi percorsi  in tempi parziali) sono semplici. Però sono poco note anche  a persone colte. Sostengo che conviene conoscerle, a chi voglia capire un po’ meglio come funziona il mondo e, insieme, desideri acquisire nuovi modi di esprimersi e di pensare.

 

Scrivevo recentemente su queste pagine che la velocità  v   di un corpo è la derivata rispetto al tempo dello spazio percorso

 

v = ds/dt da cui si deduce ds = v dt

 

dove  ds è lo spazio infinitesimo percorso nel tempo infinitesimo  dt. Ricordavo, inoltre,  che la legge secondo la quale un corpo cade liberamente in aria per i primi secondi è

 

v = g t   

 

ove g [l’accelerazione di gravità] ha il valore costante di 9,81 metri al secondo per secondo.

Per calcolare lo spazio  di caduta percorso  dopo un tempo  t , bisogna sommare (cumulare) tutti gli spazi  infinitesimi trascorsi dall’inizio. Questa operazione si chiama integrazione. Lo spazio totale percorso  si chiama “integrale dello spazio  s  esteso al tempo”. Se ricordiamo la formuletta [riportata qui sopra] che esprime  lo spazio infinitesimo  ds   percorso. possiamo scrivere la somma di tutti questi  ds  come:

 

s =  ʃ ds =  ʃ v dt =  ʃ g t dt 

 

Il simbolo  ʃ  si chiama “integrale” – somiglia a una S maiuscola, sta, quindi, per SOMMA.

In un piano cartesiano in cui l’ascissa è il tempo   t (in secondi) e l’ordinata è lo spazio  s  (in metri), il diagramma della velocità di un corpo che cade è una retta che passa per l’origine e ha pendenza  g .   L’integrale che misura lo spazio  s  percorso è la somma di tutti gli spazi infinitesimi uguali al prodotto dei tempuscoli dt per la misura dei segmenti verticali compresi fra la retta di pendenza  g  e l’asse  t  delle ascisse. Questa somma è l’area del triangolo rettangolo che ha il cateto orizzontale   t   e quello verticale  gt. Vale:

 

s =  ½ g t2   =  ʃ g t dt = g ʃ t dt

 

La stessa cosa si può dire con altre parole:  se la velocità iniziale di un corpo che cade è zero e la velocità dopo che è caduto  per  t  secondi ha il valore   gt, la sua velocità media vm è

 

vm = (0 + gt)/2

 

Lo spazio percorso è uguale al prodotto di questa velocità media per il tempo  t  che è proprio s =  ½ g t2.

 

Per analogia (ma si dimostra facilmente), se una variabile y = k xb, l’integrale di y esteso a  x  vale

 

ʃ y dx =  ʃ k xb .dx =  (k/(b+1))  xb+1

 

[16/04/2018, L’Orologio]